有界閉集$F$上的連續復變函數$f(z)$具有一致連續性，也就是說:對於任意給定的複數$\varepsilon$,都存在相應的複數$\delta$,使得對於$F$上的任意點$x_0$來說，當$|x-x_0|<|\delta|$時，都有

\begin{equation}

|f(x)-f(x_0)|<|\varepsilon|

\end{equation}

 

 

證明:對於任意給定的複數$\varepsilon$和$F$上的每一個點$x_0$來說，都存在相應的複數$\delta$,使得$\forall x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$,都有\begin{equation}\label{eq:1.11.11}|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\end{equation}顯然，對於$F$內不同的點$x_0$,都會對應各自的$\delta$,使$\ref{eq:1.11.11}$式滿足.而$x_0$有無限個，所以$\delta$也有無限個.這樣子，我們就用無限個開圓盤覆蓋了$F$.根據有限覆蓋定理，無限個開圓盤中必定存在有限個開圓盤，使得這有限個開圓盤也能覆蓋$F$.這有限個覆蓋$F$的開圓盤中必定存在半徑最小者，最小的半徑記爲$\min \{|\delta|\}$.然後我們把這有限個覆蓋$F$的開圓盤的半徑全變爲$\min \{|\delta|\}$,得到新的有限個覆蓋$F$的圓盤,每個圓盤的半徑都是$\min \{|\delta\}$.

 

對於$F$中的任意一點$x_0$來說,當$|x-x_0|<\min\{\delta\}$時，我們易得$|f(x)-f(x_0)|\leq 2|\varepsilon|$(爲什麼?提示:請畫圖，根據圓的幾何性質).

 

可見,命題得證.